Bien evidemment
Il est interdit de demander à un salarié qui etait en partiel et qi passe en complet de cefaire une periode d'essai (c'est d'ailleurs pareil pour un CDD qui passe en CDI).
Eh oui un avenant suffit.

RE
Je vous remercie pour cette rapidité, mais le responsable tient à ce que le contrat soit refait. Pourriez vous m'indiquer ce qui doit remplacer le paragraphe de la période d'essai. ( suite à la période d'essai rattachée au contrat initialement signé le ....vous n'aurez pas de période d'essai à effectuer ...) Je ne trouve plus mes mots ... Merci de votre grande aide.

Ne mettez rien
Pour le CdT et la CC une periode d'essai ne se presume pas;
Donc si il n'en est pas fait mention dans un contrat c'est qu'il n'y en a pas./
le chapitre "periode d'essai" sur un contrat C'EST UNE OPTION.
En tout cas votre responsable il a raison, quitte à refaire de la paperasse, autant clarifier.

A condition de ne rien changer dans le contrat de base
La transformation du temps partiel en temps complet ne doit rien changer au contrat de base en dehors de la durée des horaires.
Effectivement, la clause relative à la période d'essai n'est pas obligatoire dans un contrat et dans ce cas de toute les façon ne serait pas légale.
Par contre, il est nécessaire à mon avis de bien préciser dans le contrat que l'ancienneté du salarié est pris en compte dés son premier jour de travail, c'est-à-dire quand il était en temps partiel et non pas à partir du jour où il passe en temps complet.