deux points
Vous avez intérêt à vous faire assister par un spécialiste à qui vous pourrez montrer tout le dossier.


1) la faute grave est celle qui rend impossible le maintien du salarié dans l'entreprise. A tel point qu'en général on le met à pied CONSERVATOIREMENT en attendant la décision concernant le licenciement.


2) s'agissant d'une rupture pour motif disciplinaire, même dans le cas d'un CNE, il faut à mon avis suivre la procédure de licenciement ordinaire: entretien préalable avec convocation et possibilité d'assistance, délai à observer, lettre dûment motivée, etc.
http://www.travail.gouv.fr/sous-dossiers.php3?id_rubrique=156&id_mot=291

L'accumulation de ces faits peut constituer une faute grave
Si vous avez bien notifié par écrit tous les reproches que vous faites à ce salarié, avec le dernier en date, vous pouvez engager une procédure de licenciement pour faute grave.
Attention ! Le fait que vous ayez un CNE ne vous dispense pas de respecter la procédure de licenciement. Vous devez donc le convoquer à un entretien préalable par lettre recommandée avec accusé de réception ou lettre remise en main propre contre décharge. L'entretien préalable ne peut avoir lieu avant un délai minimum de 5 jours après la présentation de la lettre.
Après l'entretien, vous devez notifier au salarié son lienciement par lettre qui ne peut être envoyé avant un délai de deux jours ouvrables après la date de l'entretien et pas plus tard qu'un mois après cet entretien.