Il n'y a pas d'obligation légale d'avoir un contrat de travail écrit quand il s'agit d'un contrat à durée indéterminé à temps plein. Mais je conseille fortement la rédaction d'un tel contrat pour rappeler les droits et obligations de chacun.
Quant aux horaires, la convention collective prévoit l'obligation de tenir et faire signer le relevé d'horaires par le salarié.