Selon l'article L.L1224-1 du code du travail :
Lorsque survient une modification dans la situation juridique de l'employeur, notamment par succession, vente, fusion, transformation du fonds, mise en société de l'entreprise, tous les contrats de travail en cours au jour de la modification subsistent entre le nouvel employeur et le personnel de l'entreprise."

Cet article pose le principe de la pousuite du contrat de travail aux mêmes conditions. Ce que votre nouvel employeur traduit par votre ancien contrat est toujours valable. Je ne vois pas la nécessité de rédiger un nouveau contrat ou avenant pour juste modifier le nom de l'employeur sur votre contrat qui continue donc à s'appliquer.